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Pommes de pin ou ananas, fleurs ou feuilles sur une tige, on retrouve des spirales similaires qui diffèrent légèrement de la spirale de Fibonacci. Le Nombre d’Or nous emporte toujours plus loin, au-delà de toutes limites.
Le Nombre d’Or est aussi appelé section dorée, proportion dorée ou divine proportion est une proportion définit comme le seul rapport a/b entre deux longueurs a et b. Le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) est égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) : (a + b)/a = a/b.
Il est aussi désigné par la lettre grecque φ (phi).
C’est un nombre irrationnel, unique solution de l’équation x2 = x + 1. Il vaut environ 1,61803398875.
Un million d’élèves prennent des cours particuliers chaque année, dont une grande partie en mathématiques.
Souvent vu comme difficiles, les mathématiques peuvent être ludiques et recèlent de mystères fascinants.
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Le Nombre d’Or durant la Renaissance
A la Renaissance, il est appelé divine proportion et relève d’une intervention divine selon le livre de Pacioli, illustré par le célèbre Léonard de Vinci.
C’est aussi à cette époque que la suite de Fibonacci est mise en relation avec le nombre d’or. En divisant un terme de la suite par son terme précédent, le résultat se rapproche du nombre d’or. L’approximation est meilleure quand le terme est élevé.
Cette relation est mise en lumière par une note anonyme et le résultat est effectivement retrouvé par Johannes Kepler, qui restera fasciné par le nombre d’or toute sa vie. Il dit de lui « La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore ; l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrême raison. Le premier peut être comparé à une règle d’or ; le second à un joyau précieux ».
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La naissance d’un mythe au XIXème siècle
Le Nombre d’Or perd de son intérêt mathématique mais gagne un intérêt croissant en tant que système.
Le philosophe allemand Adolf Zeising pense que le nombre d’or peut permettre de comprendre aussi bien les domaines scientifiques qu’artistiques. C’est durant le XVIIIe siècle que les termes section dorée et nombre d’or apparaissent.
Malgré une approche scientifique douteuse, les théories de Zeising séduisent, notamment en France. Grâce au nombre d’or, il serait possible d’expliquer la beauté. Charles Henry, s’inscrivant dans l’esprit positiviste, signe le texte fondateur du pointillisme. Dans celui-ci, il associe le nombre d’or à une théorie de la couleur et des lignes. Il influencera des peintres comme Seurat et Pissaro.
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Le XXe siècle : l’Apogée
Durant tout le XXème siècle, il continue de fasciner mathématiciens, artistes et architectes. Sa popularité croît durant la première partie du XXe siècle.
Matila Ghyka, prince roumain reprend les thèses du siècle passé en s’appuyant sur des exemples issus de la nature comme les coquillages et les plantes. Mais il va plus loin : il applique ces théories à l’architecture cependant la dimension mystique n’est jamais loin.
Les pythagoriciens n’ont laissé aucune trace écrite à ce sujet. Pour Ghyka et ses suivants, c’est parce qu’ils auraient voulu garder leur découverte secrète. Le nombre d’or serait un savoir perdu, nommé Tradition Primordiale ou Connaissance Occulte chez des mouvements comme les Rose-Croix, inspirés des idées développées en Allemagne par Franz Liharzik. Pour ce groupe, le nombre d’or serait la preuve incontestable de l’existence d’un groupe restreint d’initiés possédant la science mathématique absolue.
En 1929, Ghyka va toujours plus loin, affirmant que le nombre d’or est une preuve de supériorité culturelle, sociale et ethnique sur des populations. D’autres suivent sa pensée et utilise le nombre d’or pour comparer les morphologies d’une population afin de conclure à une supériorité raciale…
D’autres intellectuels ou artistes ne vont pas si loin mais utilisent le nombre d’or pour des compositions musicale comme Iannis Xenakis, pour créer un bâtiment comme Le Corbusier, pour écrire des poèmes comme Paul Valéry et son Cantique des colonnes (1922) ou encore pour peindre comme Salvador Dali dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.
Sur le plan mathématique, le nombre d’or n’est plus utilisé à l’exception de la suite de Fibonacci.
Sur le plan scientifique en revanche, il continue à intriguer et à poser des questions. La spirale des écailles de la pomme de pin est-elle liée à la proportion d’Euclide ? est une question qui fascine les scientifiques.
Géométrie
La première définition du nombre d’or est géométrique.
Le théorème est le suivant : « Deux longueurs a et b (strictement positives) respectent la « proportion d’or » si le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a. »
A l’éclairage des travaux d’Euclide, une nouvelle définition du nombre d’or fait son apparition :
« Le nombre d’or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a/b si a et b sont deux nombres en proportion d’extrême et de moyenne raison. »
Voici la formule correspondante : φ = (1 + √5) / 2.
φ est la solution d’une équation de second degré, ce qui permet de donner une troisième définition :
« Le nombre d’or est l’unique solution de l’équation x2 – x – 1 = 0. »
Grâce à ces calculs, il est possible de dessiner une proportion d’extrême et moyenne raison en se servant d’un compas, d’une règle et d’une équerre :
- Tracez un cercle C de rayon 1,
- A l’extrémité du rayon 1, tracez un segment de longueur 1/2, perpendiculaire au rayon,
- Tracez le cercle C’ de rayon 1/2 en posant la pointe du compas à l’extrémité du segment de longueur 1/2 précédemment tracé,
- Tracez le segment depuis le centre du cercle C jusqu’à l’extrémité du cercle C’ en passant par le centre du cercle C’,
- La longueur de ce segment vaut le nombre d’or.
A partir de ces cercles, il est possible de construire un rectangle d’or.
On peut aussi intégrer un carré de côté a − b dans le rectangle d’or de côtés b × (a − b). En ajoutant un quart de cercle dans chaque carré, on obtient une spirale, appelée spirale d’or.
Il peut aussi être utilisé pour la construction de pentagones et de pentagrammes et également en trigonométrie.
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Arithmétique
L’autre méthode de définition du nombre d’or est algébrique.
En algèbre, il est défini comme l’unique racine positive d’une équation.
En utilisant les deux approches, algébrique et géométrique, il est possible de résoudre une équation du second degré. On parle alors d’algèbre géométrique. φ2 = 1 + φ a pour solution le nombre d’or.
La proportion dorée peut également être approchée en utilisant la fraction continue à l’infini. 1 + (1/(1 + (1/1))).
La suite de Fibonacci fournit elle aussi des approximations du nombre d’or :
Et réciproquement, la formule de Binet exprime la suite de Fibonacci en fonction du nombre d’or.
La section dorée est aussi utilisée dans certaines équations diophantiennes.
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L’omniprésence du Nombre d’Or
Vous l’aurez compris, il est omniprésent en mathématiques mais également tout autour de nous.
Dans la nature
Dans la nature, la section dorée est présente à travers plusieurs éléments :
- Les écailles d’une pomme de pin engendrent des spirales logarithmiques qui peuvent faire apparaître la suite de Fibonacci,
- Les étamines d’un tournesol répondent au même phénomène,
- Les cristaux de quartz se forment en schéma pentagonal, faisant intervenir le nombre d’or,
- L’écorce d’un ananas induit une spirale ordonnée associée au nombre d’or.
Mais la phyllotaxie du tournesol et la cristallographie du quartz ne suivent pas toujours les règles du nombre d’or.
Il est donc difficile d’y voir un phénomène mystique ou divin. Peut-être est-ce simplement une coïncidence…[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row css= ».vc_custom_1620124613670{border-radius: 1px !important;} »][vc_column][vc_column_text css= ».vc_custom_1620124673868{border-radius: 1px !important;} »]
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